Question

11．在△ABC中，BC=4，AB=$\sqrt{2}$AC，则△ABC面积的最大值为8$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设AC=x，则AB=$\sqrt{2}$x，根据面积公式得S_△ABC=2xsinC，由余弦定理求得 cosC代入化简 S_△ABC=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2048-（{x}^{2}-48）^{2}}$，由三角形三边关系求得4$\sqrt{2}$-4＜x＜4$\sqrt{2}$+4，由二次函数的性质求得S_△ABC取得最大值．

解答 解：设AC=x，则AB=$\sqrt{2}$x，根据面积公式得S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC•sinC=$\frac{1}{2}$•x•4•sinC=2xsinC，
由余弦定理可得 cosC=$\frac{16-{x}^{2}}{8x}$，
∴S_△ABC=2x$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=2x$\sqrt{1-（\frac{16-{x}^{2}}{8x}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$$\sqrt{2048-（{x}^{2}-48）^{2}}$．
由三角形三边关系有：x+$\sqrt{2}$x＞4且x+4＞$\sqrt{2}$x，解得 4$\sqrt{2}$-4＜x＜4$\sqrt{2}$+4，
故当 x=4$\sqrt{3}$时，S_△ABC取得最大值8$\sqrt{2}$，
故答案为：8$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题，计算量较大，考查了转化思想，属于中档题．