Question

8．下列命题中正确的是（　　）

• A． 若α＞β，则sinα＞sinβ
• B． 命题：“?x＞1，x²＞1”的否定是“?x≤1，x²≤1”
• C． 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，若f（x）在区间（-1，0）上单调递减，则a²+b²的取值范围为$[{\frac{9}{5}，+∞}）$
• D． “若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0，则xy≠0”

Answer 1

分析 在A中，举出反例即可；在B中，全称命题的否定是特称命题；在C中，f′（x）=3x²+2ax+b，由函数单调性质得到f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，由线性规划能求出a²+b²的取值范围；在D中，“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”．

解答 解：在A中，由361°＞30°，则sin361°＜sin30°，故A错误；
在B中，全称命题的否定是特称命题，所以命题：“?x＞1，x²＞1”的否定是“?x＞1，x²≤1”，故B错误；
在C中，f′（x）=3x²+2ax+b，
∵f（x）在区间（-1，0）上单调递减，∴f′（x）≤0在（-1，0）上恒成立，
∴f′（-1）≤0且f′（0））≤0，即3-2a+b≤0且b≤0，
由线性规划知，a²+b²的几何意义是可行域内的点到（0，0）点的距离的平方，如图，
点（a，b）在直线3-2x+y=0的右下方及x轴下方（如图），
点（a，b）到原点的距离最小值为$\frac{3}{\sqrt{（-2）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，无最大值，故a²+b²的取值范围为$[{\frac{9}{5}，+∞}）$，故C正确；
在D中，“若xy=0，则x=0或y=0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”，故D错误．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断，涉及正弦函数、全称命题、导数、线性规划、复合命题等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化思想，是中档题．