Question

5．已知复数z满足z=（-1+3i）（1-i）-4．
（1）求复数z的共轭复数；
（2）若ω=z+ai，且复数ω对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据复数的代数形式的运算法则，求出复数z，再求z的共轭复数；
（2）求出复数ω、z对应的向量$\overrightarrow{ω}$、$\overrightarrow{z}$，利用|ω|≤|$\overrightarrow{z}$|列出不等式求出a的取值范围．

解答 解：（1）复数z=（-1+3i）（1-i）-4=-1+i+3i+3-4=-2+4i，
∴复数z的共轭复数为$\overline{z}$=-2-4i；
（2）∵ω=z+ai=-2+（4+a）i，
∴复数ω对应向量为$\overrightarrow{ω}$=（-2，4+a）；
此时|$\overrightarrow{ω}$|=$\sqrt{4{+（4+a）}^{2}}$=$\sqrt{20+8a{+a}^{2}}$，
又∵复数z对应的向量$\overrightarrow{z}$=（-2，4），
∴|$\overrightarrow{z}$|=2$\sqrt{5}$；
∴|ω|≤|$\overrightarrow{z}$|，
∴$\sqrt{20+8a{+a}^{2}}$≤2$\sqrt{5}$，
即a（a+8）≤0，
解得实数a的取值范围是-8≤a≤0．

点评 本题考查了复数的代数运算与平面向量以及不等式的应用问题，是综合题．