Question

20．已知函数f（x）=lnx-ax²+（2-a）x．
（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为减函数，求实数a的取值范围；
（2）当a=1时，g（x）=x²-2x+b，当$x∈[{\frac{1}{2}，2}]$时，f（x）与g（x）有两个交点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为$a≥\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立，求出a的范围即可；
（2）问题转化为b=lnx-2x²+3x，令 T（x）=lnx-2x²+3x，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解（1）∵f（x）在[1，+∞）上单调递减，
∴f'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴$f'（x）=\frac{1}{x}-2ax+2-a$=$-\frac{（2x+1）（ax-1）}{x}≤0$在[1，+∞）上恒成立，
∴$a≥\frac{1}{x}$在[1，+∞）上恒成立∵${（{\frac{1}{x}}）_{max}}=1$，
∴a≥1；
（2）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，
∵f（x）与g（x）有两个交点，
∴lnx-x²+x=x²-2x+b在$[{\frac{1}{2}，2}]$上有两个根，
∴b=lnx-2x²+3x，
∴令 T（x）=lnx-2x²+3x，
∴${T}'（x）=\frac{1}{x}-4x+3=-\frac{{（{4x+1}）（{x-1}）}}{x}$，
∴T'（x）＞0时，$\frac{1}{2}＜x＜1$，
∴T（x）在$（{\frac{1}{2}，1}）$上单调递增，
∴T'（x）＜0时，1＜x＜2，
∴T（x）在（1，2）上单调递减，
∴x=1处有极大值也是最大值，
T（1）=1$T（{\frac{1}{2}}）=1-ln2＞0$，
T（2）=ln2-2＜0，
∴1-ln2≤b＜1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．