Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+a，x＜0}\\{-\frac{1}{x}，x＞0}\end{array}\right.$的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{4}$）
• B． （2，+∞）
• C． （-2，$\frac{1}{4}$）
• D． （-∞，2）∪（$\frac{1}{4}$，+∞）

Answer 1

分析 先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，令$\frac{1}{{x}_{2}}$=t，则a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，构造函数g（t）═$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，t∈（0，1），即可得出a的取值范围．

解答 解：当x＜0时，f（x）=x²+x+a的导数为f′（x）=2x+1；
当x＞0时，f（x）=-$\frac{1}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））为该函数图象上的两点，且x₁＜x₂，
当x₁＜x₂＜0，或0＜x₁＜x₂时，f′（x₁）≠f′（x₂），故x₁＜0＜x₂，
当x₁＜0时，函数f（x）在点A（x₁，f（x₁））处的切线方程为
y-（x₁²+x₁+a）=（2x₁+1）（x-x₁）；
当x₂＞0时，函数f（x）在点B（x₂，f（x₂））处的切线方程为y+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$（x-x₂）．
两直线重合的充要条件是$\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}$=2x₁+1，-$\frac{2}{{x}_{2}}$=-x₁²+a，
且x₁∈（-$\frac{1}{2}$，0）可得$\frac{1}{{x}_{2}}$∈（0，1），消去x₁得：
-（$\frac{\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}-1}{2}$）²+a=-$\frac{2}{{x}_{2}}$，令$\frac{1}{{x}_{2}}$=t，则a=$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，
构造函数g（t）═$\frac{{t}^{4}-2{t}^{2}-8t+1}{4}$，t∈（0，1），g′（t）=t³-t-2，
g′′（t）=3t²-1=0可得t=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（负值舍去），所以g′（t）在（0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）单调递减，
在（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，1）单调递增，又g′（0）＜0，g′（1）＜0，所以g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，1）单调递减，所以g（x）∈（-2，$\frac{1}{4}$），即a∈（-2，$\frac{1}{4}$），
故选C．

点评 本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法．