Question

19．在△ABC中，已知向量$\overrightarrow{AB}$=（cos18°，cos72°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos63°，2cos27°），则$|{\overrightarrow{AB}}|$=1，$|{\overrightarrow{BC}}|$=2，△ABC的面积为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量的模长=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$可得答案．在根据向量加减的运算求出$\overrightarrow{AC}$，可得|$\overrightarrow{AC}$|，即可求出三角形的面积．

解答 解：向量$\overrightarrow{AB}$=（cos18°，cos72°），$\overrightarrow{BC}$=（2cos63°，2cos27°），
则$|{\overrightarrow{AB}}|$=c=$\sqrt{co{s}^{2}18°+co{s}^{2}72°}=1$，
$|{\overrightarrow{BC}}|$=a=$\sqrt{4co{s}^{2}63°+4co{s}^{2}27°}=\sqrt{4}=2$，
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$=（2cos63°+cos18°，2cos27°+cos72°）
可得|$\overrightarrow{AC}$|=b=$\sqrt{（2cos63°+cos18°）^{2}+（2cos27°+cos72°）^{2}}$）=$\sqrt{5+2\sqrt{2}}$
由余弦定理，可得cosB=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$
则△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案为：1，2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了向量的模长的计算和向量加减的运算，以及三角形面积的求法．属于基础题．