Question

14．对于定义域为R的函数g（x），若函数sin[g（x）]是奇函数，则称g（x）为正弦奇函数．已知f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．
（1）已知g（x）是正弦奇函数，证明：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
（2）若f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，求a+b的值；
（3）证明：f（x）是奇函数．

Answer 1

分析 （1）根据正弦奇函数的定义，结合充要条件的定义，分别证明必要性和充分性，可得结论；
（2）由f（x）是单调递增的正弦奇函数，f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，可得a，b互为相反数，进而得到答案．
（3）根据f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0得到：f（-x）=-f（x），可得结论．

解答 证明（1）∵g（x）是正弦奇函数，
故sin[g（x）]是奇函数，
当：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”时，sin[g（u₀）]=1，
则sin[g（-u₀）]=-1，
即“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
故：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的必要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
当：“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”时，sin[g（-u₀）]=-1，
则sin[g（u₀）]=1，
即“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”；
故：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充分条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
综上可得：“u₀为方程sin[g（x）]=1的解”的充要条件是“-u₀为方程sin[g（x）]=-1的解”；
解：（2）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，
f（a）=$\frac{π}{2}$，f（b）=-$\frac{π}{2}$，
则sin[f（a）]+sin[f（b）]=1-1=0，
则a=-b，
则a+b=0
证明：（3）∵f（x）是单调递增的正弦奇函数，其值域为R，f（0）=0．
故sin[f（-x）]+sin[f（x）]=0，
即sin[f（-x）]=-sin[f（x）]=sin[-f（x）]，
f（-x）=-f（x），
故f（x）是奇函数．

点评 本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的奇偶性，函数的单调性，充要条件，难度中档．