Question

对于c＞0，当非零实数a，b满足4a²-2ab+b²-c=0且使|2a+b|最大时，

1

a

+

2

b

+

4

c

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：一般形式的柯西不等式,基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：首先把：4a²-2ab+b²-c=0，转化为

c

4

=(a-

b

4

)2+

3

16

b2，再由柯西不等式得到|2a+b|²，分别用b表示a，c，在代入到

1

a

+

2

b

+

4

c

得到关于b的二次函数，求出最小值即可．

解答： 解：∵4a²-2ab+b²-c=0，
∴

c

4

=(a-

b

4

)2+

3

16

b2
由柯西不等式得，
[(a-

b

4

)2+(

3 b

4

)2][22+(2

3

)2]≥[2(a-

b

2

)+

3 b

4

×2

3

]²=|2a+b|²
故当|2a+b|最大时，有

a- b 4

2

=

3 b 4

2 3

∴a=

1

2

b，c=b²
∴

1

a

+

2

b

+

4

c

=

2

b

+

2

b

+

4

b2

=4(

1

b

+

1

2

)2-1
当b=-2时，取得最小值为-1．
故答案为：-1

点评：本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于难题．