Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，a∈R．
（Ⅰ）若函数f（x）在（-∞，+∞）上至少有一个零点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在[a，a+2]上的最大值为3，求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函数y=f（x）在R上至少有一个零点?方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一个实数根?△≥0，解出即可；
（II）通过对区间[a，a+2]端点与对称轴顶点的横坐标2的大小比较，再利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）由函数y=f（x）在R上至少有一个零点，
即方程f（x）=x²-4x+a+3=0至少有一个实数根．
∴△=16-4（a+3）≥0，
解得a≤1．
（Ⅱ）函数f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴方程是x=2．
①当a+1≤2，即a≤1时，ymax=f(a)=a2-3a+3=3．
解得a=0或3．
又a≤1，
∴a=0．
②当a+1＞2，即a＞1时，ymax=f(a+2)=a2+a-1=3
解得a=

-1± 17

2

．
又a＞1，∴a=

-1+ 17

2

．
综上可知：a=0或

-1+ 17

2

．

点评：本题考查了二次函数零点与一元二次方程的实数根的关系、一元二次方程的实数根与判别式△的关系、二次函数的单调性、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于难题．