【题目】如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.
(1)求证:AD⊥平面PNB;
(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥PNBM的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)由等边三角形的性质可得PN⊥AD,BN⊥AD,从而可证明.
(2)由平面PAD⊥平面ABCD,结合(1)可得PN⊥平面ABCD,由条件有,从而可求得体积.
(1)连接BD.
∵PA=PD,N为AD的中点,∴PN⊥AD.
又底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,
∴△ABD为等边三角形,
∴BN⊥AD,
又PN∩BN=N,∴AD⊥平面PNB.
(2)∵PA=PD=AD=2,∴PN=NB=.
又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,
∴PN⊥平面ABCD,
∴PN⊥NB,∴S△PNB=.
∵AD⊥平面PNB,AD∥BC,∴BC⊥平面PNB.
又PM=2MC,
∴.
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【题目】已知抛物线经过点
,过
作倾斜角互补的两条不同直线
、
.
(1)求抛物线的方程及准线方程;
(2)设直线、
分别交抛物线
于
、
两点(均不与
重合,如图),记直线
的斜率为正数
,若以线段
为直径的圆与抛物线的准线相切,求
的值.
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【题目】已知椭圆的左右焦点分别为
,
,该椭圆与
轴正半轴交于点
,且
是边长为
的等边三角形.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点任作一直线交椭圆于
,
两点,平面上有一动点
,设直线
,
,
的斜率分别为
,
,
,且满足
,求动点
的轨迹方程.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,,
,
,
, PA=AB=BC=2. E是PC的中点.
(1)证明: ;
(2)求三棱锥P-ABC的体积;
(3) 证明:平面
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【题目】已知M为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点,且点Q(-2,3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值;
(2)若M(m,n),求的最大值和最小值
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【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的极值点;
(Ⅱ)若直线过点
,并且与曲线
相切,求直线
的方程;
(Ⅲ)设函数,其中
,求函数
在区间
上的最小值.(其中
为自然对数的底数)
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【题目】已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲没有银联卡,顾客乙只带了现金,顾客丙、丁用哪种方式结账都可以,这四名顾客购物后,恰好用了其中的三种结账方式,那么他们结账方式的可能情况有( )种
A. 19B. 7C. 26D. 12
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