Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{b}$=1（b＞0），双曲线在第一象限一点P满足|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|．离心率e∈（1，2]．则点P的纵坐标的最大值为3．

Answer 1

分析 设出P的坐标，利用距离公式结合离心率的取值范围转化为函数，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：∵双曲线在第一象限一点P满足|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|．
∴|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c=$\sqrt{4+b}$，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，
则$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{b}$=1，即x²=4+$\frac{4{y}^{2}}{b}$，
则|OP|²=x²+y²=4+b，
即4+$\frac{4{y}^{2}}{b}$+y²=4+b，即y²=$\frac{{b}^{2}}{4+b}$，
∵e∈（1，2]．
∴1＜$\frac{c}{a}$≤2，
即1＜$\frac{\sqrt{4+b}}{2}$≤2，
则2＜$\sqrt{4+b}$≤4，0＜b≤12，
设4+b=t，则b=t-4，4＜t≤16，
则y²=$\frac{{b}^{2}}{4+b}$=$\frac{（t-4）^{2}}{t}$=$\frac{{t}^{2}-8t+8}{t}$=t+$\frac{8}{t}$-8在4＜t≤16上为增函数，
∴当t=16时，t+$\frac{16}{t}$-8=16+$\frac{16}{16}-8$=9，
此时y=9为最大值，
即点P的纵坐标的最大值为3，
故答案为：3．

点评 本题主要考查双曲线性质的应用，设出点的坐标，结合距离公式，利用消元法转化为函数进行求解是解决本题的关键．