Question

10．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的两个焦点分别为F₁，F₂，若椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂是钝角，则椭圆离心率的取值范围是（　　）

• A． $（0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$
• B． $（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，1）$
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值，由此可得结论．

解答 解：如图，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F₁PF₂渐渐增大，当且仅当P点位于短轴端点P₀处时，张角∠F₁PF₂达到最大值．由此可得：
∵椭圆上存在点P使得∠F₁PF₂是钝角，
∴△P₀F₁F₂中，∠F₁P₀F₂＞90°，
∴Rt△P₀OF₂中，∠OP₀F₂＞45°，
所以P₀O＜OF₂，即b＜c，
∴a²-c²＜c²，可得a²＜2c²，
∴e＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0＜e＜1，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜e＜1．
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查数形结合的数学思想，属于中档题．