Question

如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 证明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，当PC与平面ABCD所成角的正切值为时，求四棱锥P－ABCD的外接球表面积．

Answer 1

(1)见解析；(2).

解析试题分析：(1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到 和 ，因为 ，所以利用直线与平面垂直的判定定理可知， ；(2)先利用直线和平面垂直的性质定理得到，那么为正方形，得到边的值，然后根据已知的垂直关系，找到线面角，根据线面角的正切值求出，根据此四棱锥的性质可知，所求的外接球的直径即是线段，由已求得的量结合勾股定理求得的值，再由球的表面积公式：，求此四棱锥的外接球的表面积.
试题解析：(1)证明　∵，，∴．2分
同理由，可证得．                         4分
又，∴．                                6分
(2)由(1)知，又， ∴．
故矩形为正方形，∴．所以    8分
因为，所以与平面所成角为，
因为与平面所成角的正切值为，即，
所以，                         10分
又，所以，
所以四棱锥的外接球表面积为．12分
考点：1.直线与平面垂直的判定定理；2.直线与平面垂直的性质定理；3.直线和平面所成的角(线面角)；4.球的体积和表面积；5.解三角形；6.勾股定理