Question

已知正四面体的棱长为4cm，求由正四面体的中截面所截出的正三棱台的斜高、高、上、下底面的面积（注：中截面特指经过高的中点且平行于底面的几何体的截面）．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，如图所示，点O，O₁分别为正△ABC，正△A₁B₁C₁的中心，点D，D₁分别为BC，B₁C₁的中点．过点D₁作D₁E⊥AD，垂足为E点．由正四面体的棱长为4cm，斜高D₁D=

1

2

PD.OD=

1

3

AD．高O₁O=

1

2

PO=

1

2

PD2-OD2

．S_△ABC=

3

4

a2.S△A1B1C1=

1

2

S△ABC．

解答： 解：如图所示，
如图所示，点O，O₁分别为正△ABC，正△A₁B₁C₁的中心，点D，D₁分别为BC，B₁C₁的中点．过点D₁作D₁E⊥AD，垂足为E点．
∵正四面体的棱长为4cm，
∴斜高D₁D=

1

2

PD=

1

2

×

3

2

×4=

3

．
OD=

1

3

AD=

1

3

×2

3

=

2 3

3

．
∴高O₁O=

1

2

PO=

1

2

PD2-OD2

=

2 6

3

．
S_△ABC=

3

4

×42=4

3

．
S△A1B1C1=

1

2

S△ABC=2

3

．

点评：本题考查了正四面体的性质、等边三角形的性质、三角形的中位线定理、勾股定理等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．