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已知点M(0,-1),直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2(m,a∈R)交于A、B两点.
(1)当m=0时,有∠AOB=
π
3
,求曲线C的方程;
(2)当实数a为何值时,对任意m∈R,都有
OA
OB
为定值T?指出T的值;
(3)设动点P满足
MP
=
OA
+
OB
,当a=-2,m变化时,求点P的轨迹方程;
(4)是否存在常数M,使得对于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立?如果存在,求出的M得最小值;如果不存在,说明理由.
(1)由题意,直线方程为y=1,代入曲线C:ax2+y2=2可得 A(-
1
a
,1)
B(
1
a
,1)

∠AOB=
π
3
,∴tan300 =
1
a
,∴a=3
∴曲线C的方程为3x2+y2=2
(2)将直线l:y=mx+1与曲线C:ax2+y2=2联立,化简得(a+m2)x2+2mx-1=0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则知 x1+x2=-
2m
m2+a
x1x2=
-1
m2+a

∴x1x2+y1y2=
-1
m2+a
+(mx1+1)(mx2+1)=
m 2-1
m2+a
+1

对任意m∈R,都有
OA
OB
=T
成立.
得x1x2+y1y2=T定值,
∴可有a=-1,此时T=2;
(3)由(2)知 x1+x2=
2m
m2-2
y1+y2=
4m2-4
m2-2

设P(x,y),则(x,y+1)=(x1+x2,y1+y2
x=-
2m
m2-2
,y=-
m2+2
m2-2

消去m得:(y-2)2-2x2=1,此即为点P的轨迹方程;
(4)由(2)知:
OA
OB
=
m 2-1
m2+a
+1

对于任意的a∈(0,1),m∈R,它的最大值小于2,
故取M的值大于2时,都有
OA
OB
<M
恒成立,
故存在常数M,使得对于任意的a∈(0,1),m∈R,都有
OA
OB
<M
恒成立,
M得最小值为2.
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(2)当实数a为何值时,对任意m∈R,都有
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