Question

14．向量的坐标运算：设$\overrightarrow{a}$=（x₁，y₁），$\overrightarrow{b}$=（x₂，y₂），则$\overrightarrow{a}$±$\overrightarrow{b}$=（x₁±x₂，y₁±y₂），
λ$\overrightarrow{a}$=（λx₁，λy₁），若（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{A}$B=（x₂-x₁，y₂-y₁）
1°$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x₁x₂+y₁y₂；$\stackrel{-2}{a}$=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$
2°$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$?x₁x₂+y₁y₂=0，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?x₁y₂-x₂y₁=0
3°|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$．

Answer 1

分析 由终点坐标减起点坐标便可得出向量$\overrightarrow{AB}$的坐标；进行向量的数量积的坐标运算便可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}，{\overrightarrow{a}}^{2}$；向量$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$的充要条件为$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，然后带入坐标即可，$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$的充要条件为$x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，带入坐标，然后消去x，y即可；根据$|\overrightarrow{a}{|}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}$便可用坐标表示$|\overrightarrow{a}|$．

解答 解：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∴$\overrightarrow{AB}=（{x}_{2}-{x}_{1}，{y}_{2}-{y}_{1}）$；
1°$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}$，${\overrightarrow{a}}^{2}={{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$；
2°$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$等价于$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$?x₁x₂+y₁y₂=0；
$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$?x₁y₂-x₂y₁=0；
3°$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}=\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$．
故答案为：（x₂-x₁，y₂-y₁），1°x₁x₂+y₁y₂，${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}$，2°x₁x₂+y₁y₂=0，x₁y₂-x₂y₁=0，3°$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$．

点评 考查由点的坐标求向量的坐标的方法，向量数量积的坐标运算，以及向量垂直和平行的充要条件，根据向量的坐标可以写出向量的长度．