Question

16．己知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[-1，1]上，y=f（x）+mx的最大值h（m），并求出h（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可；
（2）只需保证对称轴落在区间内部即可；
（3）分段求出h（m）的解析式，结合一次函数的性质，可得h（m）的最小值

解答 解：（1）由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）
∴对称轴为x=1，
又由函数最小值为1，
设f（x）=a（x-1）²+1，
又f（0）=3
∴a=2
∴f（x）=2（x-1）²+1=2x²-4x+3
（2）要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1
∴0＜a＜$\frac{1}{2}$；
（3）函数y=f（x）+mx=2x²-（4-m）x+3的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{4-m}{4}$为对称轴的抛物线，
若$\frac{4-m}{4}$≥0，即m≤4，则h（m）=f（-1）=-m+9，
若$\frac{4-m}{4}$＜0，即m＞4，则h（m）=f（1）=m+1，
故h（m）=$\left\{\begin{array}{l}-m+9，m≤4\\ m+1，m＞4\end{array}\right.$，
故当m=4时，函数h（m）取最小值5．

点评 本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．