Question

已知函数f（x）=x|x-a|+2x-3
（1）当a=4，2≤x≤5时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）当x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3；
①当2≤x＜4时，f（x）=x（4-x）+2x-3=-x²+6x-3，
当x=2时，f（x）_min=5；当x=3时，f（x）_max=6 （2分）
②当4≤x≤5时，f（x）=x（x-4）+2x-3=x²-2x-3=（x-1）²-4，
当x=4时，f（x）_min=5；当x=5时，f（x）_max=12 （4分）
综上可知，函数f（x）的最大值为12，最小值为5． （6分）
（2）若x≥a，原不等式化为f（x）=x²-ax≤1，即a≥x-在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≥（x-）_max，即a≥． （8分）
若x＜a，原不等式化为f（x）=-x²+ax≤1，即a≤x+在x∈[1，2]上恒成立，
∴a≤（x-）_min，即a≤2． （10分）
综上可知，a的取值范围为≤a≤2． （12分）
∴f（1）＜m＜f（0），即e＜m＜3．即实数m的取值范围是（e，3）（12分）
分析：（1）当a=4时，f（x）=x|x-4|+2x-3；再对x的取值进行分类讨论去掉绝对值符号：①当2≤x＜4时，②当4≤x≤5时，分别求出在各自区间上的最值，最后综合得到函数f（x）的最值．
（2）题目中条件：“x∈[1，2]时，f（x）≤2x-2恒成立”转化为f（x）=x²-ax≤1恒成立，下面只要利用分离参数法求出函数x-或x+在给定区间上的最值即得．
点评：本题考查不等式的恒成立问题，属于中档题，求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇．