Question

设f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，且f（x+2）=-f（x），下面关于f（x）的判定：其中正确命题的序号为

 

．
①f（4）=0；           
②f（x）是以4为周期的函数；
③f（x）的图象关于x=1对称；      
④f（x）的图象关于x=2对称．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：运用函数的奇偶性定义，周期性定义，求出①②正确，再根据对称性判断③正确．

解答： 解：∵f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，∴f（-x）=-f（x），f（0）=0，
∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即f（x）是以4为周期的函数，f（4）=0，
∵f（x+2）=-f（x），f[（x+1）+1]=f（-x），令t=1+x，则f（t+1）=f（1-t），
∴f（x+1）=f（1-x），
所以f（x）的图象关于x=1对称；
故答案为：①②③

点评：本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断．