Question

已知数列a_n满足a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1=a_n，（n≥1），数列b_n满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，对任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n×b_n+2．
（1）证明：数列{

1

an

}是等差数列，并求a_n；
（2）令T_n=

b1

a1

+

b2

a2

+…+

bn

an

，求证：

3

2

≤Tn＜2．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知得a_n+1=

an

an+1

，从而

1

an+1

=

1

an

+1，由此数列{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列，从而a_n=

1

n

．
（2）由已知得b_n=（

1

2

）ⁿ．从而

bn

an

=

( 1 2 )n

1 n

=n•（

1

2

）ⁿ，由此利用错位相减法能证明

3

2

≤T_n＜4．

解答： （1）证明：∵数列a_n满足a₁=1，a_n+1•a_n+a_n+1=a_n，（n≥1），
∴a_n+1=

an

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
∴数列{

1

an

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

1

an

=1+（n-1）=n，
∴a_n=

1

n

．
（2）∵数列b_n满足b₁=

1

2

，b₂=

1

4

，对任意n∈N^*，都有b_n+1²=b_n×b_n+2．
∴{b_n}是首项为

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，
∴b_n=（

1

2

）ⁿ．
∴

bn

an

=

( 1 2 )n

1 n

=n•（

1

2

）ⁿ，
∴Tn=1•

1

2

+2•(

1

2

)2+3•(

1

2

)3+…+n•(

1

2

)n，①

1

2

Tn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+3•(

1

2

)4+…+n(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

T _n=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n(

1

2

)n+1
=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-n（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴T_n=4-（n+4）•(

1

2

)n＜4，
∴{T_n}是增数列，∴{T_n}_min={T₁}=

3

2

．
∴

3

2

≤T_n＜4．

点评：本题考查数列为等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．