Question

（12分）设为实数，函数,.
（1）求的单调区间与极值；
（2）求证：当且时，.

Answer 1

（1）单调递减区间是，单调递增区间是，极小值为（2）设，于是，取最小值为
在R内单调递增，有，而，有故

解析试题分析：（Ⅰ）解：由知。  …2分
令，得。于是，当变化时，和的变化情况如下表：

		0	+
	单调递减		单调递增

 ……………………………4分
故的单调递减区间是，单调递增区间是。在处取得极小值。极小值为                 ……………6分
（Ⅱ）证明：设，于是。
由（Ⅰ）知当时取最小值为
于是对任意,都有，所以在R内单调递增。        ……8分
于是，当时，对任意，都有，而 ………10分
从而对任意，都有。即故12分
考点：函数单调区间极值及利用单调性最值证明不等式
点评：证明不等式恒成立问题常转化为求函数最值问题