Question

已知函数f（x）=x-2m2+m+3（m∈Z）为偶函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求m的值，并确定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=log_a[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在实数a，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由幂函数在（0，+∞）上为增函数且m∈Z求出m的值，然后根据函数式偶函数进一步确定m的值，则函数的解析式可求；
（2）把函数f（x）的解析式代入g（x）=log_a[f（x）-ax]，求出函数g（x）的定义域，由函数g（x）在区间[2，3]上有意义确定出a的范围，然后分类讨论使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2的a的值．

解答：解：（1）由函数f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)在（0，+∞）上为增函数，
得到-2m²+m+3＞0
解得-1＜m＜

3

2

，又因为m∈Z，
所以m=0或1．
又因为函数f（x）是偶函数
当m=0时，f（x）=x³，不满足f（x）为偶函数；
当m=1时，f（x）=x²，满足f（x）为偶函数；
所以f（x）=x²；
（2）g(x)=loga(x2-ax)，令h（x）=x²-ax，
由h（x）＞0得：x∈（-∞，0）∪（a，+∞）
∵g（x）在[2，3]上有定义，
∴0＜a＜2且a≠1，∴h（x）=x²-ax在[2，3]上为增函数．
当1＜a＜2时，g（x）_max=g（3）=log_a（9-3a）=2，
a2+3a-9=0⇒a=

-3±3 5

2

因为1＜a＜2，所以a=

-3+3 5

2

．
当0＜a＜1时，g（x）_max=g（2）=log_a（4-2a）=2，
∴a²+2a-4=0，解得a=-1±

5

，
∵0＜a＜1，∴此种情况不存在，
综上，存在实数a=

-3+3 5

2

，使g（x）在区间[2，3]上的最大值为2．

点评：本题考查了幂函数的单调性和奇偶性，考查了复合函数的单调性，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了利用函数的单调性求函数的最值，是中档题．