Question

【题目】如图， 中， ， 分别是的中点，将沿折起成，使面面， 分别是和的中点，平面与， 分别交于点.

（1）求证： ；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，最后根据线面平行性质定理得结论（2）根据以及建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，由向量数量积得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系求结果

试题解析：(1)证明：∵分别是的中点，∴，而平面， 平面，

∴平面

又平面平面，故.

（2）如图，建立空间直角坐标系，由题意得：

， ， ， ， ，

∴， ， ， ，

设平面的一个法向量为，

则，令，解得，

∴

设平面的一个法向量为，

则，取，得，

设二面角的平面角为，

则，∴.

∴二面角的正弦值为.