Question

【题目】已知向量，，，其中0<α<x<π.

（1）若α＝，求函数的最小值及相应x的值；

（2）若与的夹角为，且，求tan 2α的值．

Answer 1

【答案】(1) 最小值为，相应的值为； （2） .

【解析】

（1）根据向量点乘表示出函数f（x）的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题．
（2）根据与的夹角为 ，确定 ，再由可知向量整理可得sin（x+α）+2sin2α=0，再将代入即可得到答案．

(1)∵b＝(cos x，sin x)，

c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，α＝，

∴f(x)＝b·c

＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α

＝2sin xcos x＋ (sin x＋cos x)．

令t＝sin x＋cos x，

则2sin xcos x＝t2－1，且－1<t<.

则y＝t2＋t－1＝2－，－1<t<，

∴当t＝－时，ymin＝－，此时sin x＋cos x＝－，

即sin＝－，

∵<x<π，∴<x＋<，

∴x＋＝，∴x＝.

∴函数f(x)的最小值为－，相应x的值为.

(2)∵a与b的夹角为，

∴cos＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π，∴x－α＝.

∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0，

∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，即sin＋2sin 2α＝0.

∴sin 2α＋cos 2α＝0，∴tan 2α＝－.