【题目】已知椭圆:
过点
,且离心率为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)斜率为的直线
与椭圆
交于
,
两点,在
轴上存在点
满足
,求
面积的最大值.
【答案】(1);(2)5
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由椭圆的离心率为可得
,由椭圆过点
,故
,解得
,
,从而可得椭圆的方程.(Ⅱ)由题意可得
是线段
的垂直平分线与
轴交点,设直线的
的方程为
,与椭圆的方程联立消元后根据所得的二次方程可得弦
的中点
,由此可得线段
的垂直平分线的方程,进而得到点
再求得
及三角形的高
后可得三角形的面积,根据基本不等式求得
面积的最大值为5.
试题解析:
(Ⅰ)由题意得,
所以.①
因为点在椭圆
上,
所以.②
由①②得,
.
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)因为轴上存在点
满足
,
所以是线段
的垂直平分线与
轴交点.
由题意设直线的的方程为
,
由消去y整理得
.
因为直线与椭圆交于两点,
所以,
解得.
设,
,
的中点为
.
则,
.
所以,
故,
所以点.
故线段的垂直平分线的方程为
,即
.
令,得
,即
.
所以,即
的高
,
又
.
所以,
当且仅当,即
时等号成立.
验证可得满足
.
所以面积的最大值为5.
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【题目】如图,将边长为2,有一个锐角为60°的菱形ABCD,沿着较短的对角线BD对折,使得,O为BD的中点.
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求三棱锥的体积;
(Ⅲ)求二面角A-BC-D的余弦值.
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【题目】设平面内到点和直线
的距离相等的点的轨迹为曲线
,则曲线
的方程为_______;若直线
与曲线
相交于不同两点
,
,与圆
相切于点
,且
为线段
的中点.在
的变化过程中,满足条件的直线
有
条,则
的所有可能值为____________.
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【题目】已知平面内圆心为的圆的方程为
,点
是圆上的动点,点
是平面内任意一点,若线段
的垂直平分线交直线
于点
,则点
的轨迹可能是_________.(请将下列符合条件的序号都填入横线上)
①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直线;⑥一个点.
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【题目】某公司的管理者通过公司近年来科研费用支出x(百万元)与公司所获得利润y(百万元)的散点图发现,y与x之间具有线性相关关系,具体数据如下表:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 |
科研费用x(百万元) | 1.6 | 1.7 | 1.8 | 1.9 | 2.0 |
公司所获利润y(百万元) | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
(1)求y关于x的回归直线方程;
(2)若该公司的科研投入从2011年开始连续10年每一年都比上一年增加10万元,预测2017年该公司可获得的利润约为多少万元.
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