Question

19．设扇形AOB半径为a，中心角为锐角α，圆心为O，从A向半径OB作垂线，垂足为B₁；由B₁作弦AB的平行线，与OA交于A₁，反复如此做，得到△ABB₁，△A₁B₁B₂，…，△A_nB_nB_n+1，…，它们的面积分别为S₁，S₂，…，S_n，…，求所有这些三角形的面积之和．

Answer 1

分析 由平面几何以及锐角三角比知识可以算的结果

解答 解：由平面几何以及锐角三角比知识可以算的
${S}_{1}=\frac{{a}^{2}sinθcosθ}{2}$，
${S}_{2}=\frac{{a}^{2}（cosθ）^{2}sinθcosθ}{2}$
…
${S}_{n}=\frac{{a}^{2}（cosθ）^{2n}sinθcosθ}{2}$
可以得到公比为（cosθ）²＜1
所以${S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}=\frac{{a}^{2}sinθcosθ}{2}$$+…+\frac{{a}^{2}（cosθ）^{2θ}sinθcosθ}{2}$=$\frac{{a}^{2}sinθcosθ}{2}•\frac{1-（cosθ）^{2n}}{1-（cosθ）^{2}}$．

点评 本题主要考查合理推理的知识，属简单题型．