Question

已知函数f(x)=alnx-ax-3（a∈R）。
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）若函数y= f(x)的图像在点（2，f(2)）处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值？
（Ⅲ）当a=2时，设函数h(x)=(p-2)x--3，若在区间[1，e]上至少存在一个x₀，使得h(x₀)＞f(x₀)成立，试求实数p的取值范围．

Answer 1

解：（Ι）由知：
当a＞0时，函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是；
当a＜0时，函数f(x)的单调增区间是，单调减区间是；
当a=0时，函数f(x)=-3是常数函数，无单调区间。
（Ⅱ）由，
∴，，
故，
∴，
∵函数g(x)在区间（t，3）上总存在极值，
∴ 函数g′(x)在区间（t，3）上总存在零点，
又∵函数g′(x)是开口向上的二次函数，且g′(0)=-2＜0，
∴，
由，令，则，
所以，H(t)在[1，2]上单调递减，所以，；
由，解得；
综上得：，
所以当m在内取值时，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总存在极值。
（Ⅲ）∵a=2，∴，
令，
则，
①当p≤0时，由x∈[1，e]得，从而F(x) ＜0，
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得； 
②当p＞0时，，

∴在[1，e]上恒成立，
故F(x)在[1，e]上单调递增，
∴
故只要，解得，
综上所述，p的取值范围是。