Question

如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
(Ⅰ)求证：BF∥平面A′DE；
(Ⅱ)设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．

Answer 1

(Ⅰ)证明：取A'D的中点G，连结GF，GE， 由条件易知， 所以FC∥BE，FG=BE， 故四边形BEGF为平行四边形， 所以BF∥EG， 因为EG平面A′DE，BF平面A′DE， 所以BF∥平面A′DE。 (Ⅱ)在平行四边形ABCD中，设BC=a， 则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，连结CE， 因为∠ABC=120°， 在△BCE中，可得CE=a， 在△ADE中，可得DE=a， 在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE， 在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE， 由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE， 取A′E的中点N，连结NM，NF， 所以NF⊥DE，NF⊥A′M， 因为DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE， 则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成角， 在Rt△FMN中，， 则， 所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为。