Question

11．讨论函数f（x）=|x-2|+ax+a-1（a∈R）的零点个数．

Answer 1

分析 作函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象，由数形结合求得．

解答 解：令y=|x-2|-1，y=-a（x+1）；
作函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象如右图，
结合图象可知，
当-a=-$\frac{1}{3}$，即a=$\frac{1}{3}$时，函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象有一个交点，
当-$\frac{1}{3}$＜-a＜1，即-1＜a＜$\frac{1}{3}$时，
函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象有两个交点，
当-a≥1或-a＜-1，即a≤-1或a＞1时，
函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象有一个交点，
当-1≤-a＜-$\frac{1}{3}$，即$\frac{1}{3}$＜a≤1时，
函数y=|x-2|-1与y=-a（x+1）的图象没有交点，
综上所述，
当a≤-1或a＞1或a=$\frac{1}{3}$时，
函数f（x）=|x-2|+ax+a-1（a∈R）有一个零点，
当-1＜a＜$\frac{1}{3}$时，
函数f（x）=|x-2|+ax+a-1（a∈R）有两个零点，
当$\frac{1}{3}$＜a≤1时，
函数f（x）=|x-2|+ax+a-1（a∈R）没有零点．

点评 本题考查了函数的零点与函数的图象的交点的关系应用，同时考查了数形结合的思想应用．