Question

1．已知直线l_n：y=x-$\sqrt{2n}$ 与圆C_n：x²+y²=2a_n+n交于不同的两点A_n、B_n，n∈N⁺，数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²，则数列{a_n}的通项公式为${a_n}={2^{n-1}}$．

Answer 1

分析 运用点到直线的距离公式和弦长公式，求得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=2$，再由等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：圆C_n：x²+y²=2a_n+n的圆心（0，0）到直线L_n的距离为d_n=$\frac{|\sqrt{2n}|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{n}$，
半径${r}_{n}=\sqrt{2{a}_{n}+n}$，
∴a_n+1=$\frac{1}{4}$|A_nB_n|²=${{r}_{n}}^{2}-{{d}_{n}}^{2}$=2a_n+n-n=2a_n，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=2，又a₁=1，
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴${a}_{n}={2}^{n-1}$．
故答案为：${a_n}={2^{n-1}}$．

点评 本题考查数列的通项的求法，同时考查直线和圆相交的弦长公式，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．