Question

10．讨论函数f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x+{x}^{3}{e}^{nx}}{x+{e}^{nx}}$的连续性（n为正整数）．

Answer 1

分析 利用函数连续的定义即可判断出结论．

解答 解：当x=0时，f（0）=0，
x≠0时，f（x）=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{x+{x}^{3}{e}^{nx}}{x+{e}^{nx}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{\frac{x}{{e}^{nx}}+{x}^{3}}{\frac{x}{{e}^{nx}}+1}$=x³，∴x→0时，f（x）→0，
因此函数f（x）在x=0处连续．
x≠0时，函数f（x）连续．
因此函数x∈R时连续．

点评 本题考查了函数连续的定义、极限的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．