Question

12．如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=AB=2，点E在棱PC上．
（1）点E在何处时，PA∥平面EBD，并加以证明．
（2）求正四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接底面对角线，交于点O，连接OE，利用三角形中位线的性质可得OE∥PA，再由线面平行的判定得答案；
（2）求解直角三角形得到四棱锥的高，代入体积公式求得正四棱锥P-ABCD的体积．

解答 （1）证明：点E为PC的中点时，PA∥平面EBD．
连接AC交BD 于点O，连接EO．
在正方形ABCD中，AO=OC，又PE=EC，
∴OE为三角形PAC的中位线，
∴OE∥PA，
又∵PA?平面B ₁CD，OE?平面B ₁CD，
∴PA∥平面EBD；
（2）连接PO，在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥底面ABCD，
∵底面为边长是2的正方形，∴$AO=\sqrt{2}$，
在Rt△POA中，又PA=2，∴$PO=\sqrt{2}$，
则${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}×4×\sqrt{2}=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查了棱锥体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．