Question

4．在△ABC中，$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=3$\overrightarrow{b}$，设P为△ABC内部及边界上任意一点，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，则λμ的最大值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 可作出图形，过点P作BC的平行线，并分别交AB，AC于M，N，可设$\overrightarrow{NP}=t\overrightarrow{NM}$，0≤t≤1，从而可以得到$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}+（1-t）\overrightarrow{AN}$，而可设$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，从而$\overrightarrow{AN}=m\overrightarrow{AC}$，0≤m≤1，这样即可得出$\overrightarrow{AP}=2tm\overrightarrow{a}+3（1-t）m\overrightarrow{b}$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{λ=2tm}\\{μ=3（1-t）m}\end{array}\right.$，从而有λ≥0，μ≥0，3λ+2μ=6≤6，由基本不等式即可得到$2\sqrt{6λμ}≤6$，从而便可得出λμ的最大值．

解答 解：如图，过点P作BC的平行线交AB、AC于点M、N；
设$\overrightarrow{NP}=t\overrightarrow{NM}$，则：$\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AM}+（1-t）\overrightarrow{AN}$，0≤t≤1；
设$\overrightarrow{AM}=m\overrightarrow{AB}$，则$\overrightarrow{AN}=m\overrightarrow{AC}$，0≤m≤1；
∴$\overrightarrow{AP}=tm\overrightarrow{AB}+（1-t）m\overrightarrow{AC}$；
∴$\overrightarrow{AP}=2tm\overrightarrow{a}+3（1-t）m\overrightarrow{b}$；
又$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$；
∴λ=2tm，μ=3（1-t）m；
∴λ≥0，μ≥0，3λ+2μ=6m≤6；
∴由$3λ+2μ≥2\sqrt{6λμ}$得，$2\sqrt{6λμ}≤6$；
∴$λμ≤\frac{3}{2}$；
∴λμ的最大值为$\frac{3}{2}$．
故答案为：$\frac{3}{2}$．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，平行线分线段成比例定理，以及平面向量基本定理，基本不等式的运用．