Question

7．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．
（1）证明：BC₁∥平面ACD₁．
（2）当$AE=\frac{1}{4}AB$时，求三棱锥E-ACD₁的体积．

Answer 1

分析 （1）根据四边形ABC₁D₁是平行四边形得出AD₁∥BC₁，于是BC₁∥平面ACD₁．
（2）以△ACE为棱锥的底面，则棱锥的高为DD₁，代入棱锥的体积公式计算．

解答 （1）证明：∵AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴四边形ABC₁D₁是平行四边形，
∴BC₁∥AD₁，
又∵AD₁?平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁．
（2）解：S_△ACE=$\frac{1}{2}$AE•AD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×1$=$\frac{1}{4}$．
∴V${\;}_{E-AC{D}_{1}}$=V${\;}_{{D}_{1}-ACE}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ACE}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{4}×1$=$\frac{1}{12}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，长方体的结构特征，棱锥的体积计算，属于中档题．