Question

设函数f（x）=

9x

9x+3

．
（1）求证：f（x）+f（1-x）=1；
（2）若f（x）+f（1-x）=1，根据f（x）=

9x

9x+3

，写出一个更为一般的函数g（x）；
（3）计算：f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

）．

Answer 1

考点：函数的零点,函数的值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）运用指数的运算性质，化简整理，即可得证；
（2）设g（x）=

ax

ax+b

，则由g（x）+g（1-x）=1，可得a=b²，即可得到g（x）；
（3）由（1）的结论，即可计算得到所求的和．

解答： （1）证明：f（x）+f（1-x）=

9x

9x+3

+

91-x

91-x+3

=

9x

9x+3

+

9

9+3•9x

=

9x

9x+3

+

3

3+9x

=1，
即有f（x）+f（1-x）=1；
（2）解：设g（x）=

ax

ax+b

，则由g（x）+g（1-x）=1，
即有

ax

ax+b

+

a1-x

a1-x+b

=

ax

ax+b

+

a

a+b•ax

=1．
则有a=b²，
故g（x）=

ax

ax+ a

；
（3）解：由于f（x）+f（1-x）=1，
则设S=f（

1

2014

）+f（

2

2014

）+…+f（

2013

2014

），
则S=f（

2013

2014

）+f（

2012

2014

）+…+f（

1

2014

）．
即有2S=（f（

1

2014

）+f（

2013

2014

））+（f（

2

2014

）+f（

2012

2014

））+…+（f（

2013

2014

）+f（

1

2014

））
=2013，
故S=

2013

2

．

点评：本题考查指数的运算性质，考查函数的函数值之间的关系式，考查运算能力，属于中档题．