Question

 

 定义函数其导函数记为_.

（1）   求证：；

（2）   设，求证： ；

（3）   是否存在区间使函数在区间上的值域为？ 若存在，求出最小的值及相应的区间.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （1）∵，令

则

当时，当时，

∴在上递减，在上递增

故在处取得极（最）小值

∴，即（当且仅当时取等号）……………………4分

（2）由，得

∴，，易知，…………….6分

而

由（1）知当时，，故

∴，∴…………………………………………………………9分

（3）

令，得或，

∴当时，；

当时，；

当时，，

故的图象如图所示。

下面考查直线与的相交问题

由图可知直线与存在交点，

且满足在区间上的值域为

∵在上，为图象的极小值点

∴过作直线与的图象交于另一点，当直线绕原点顺时钟旋转至点时，满足条件的取最小值，即的最小值为，相应区间为。…………………………………………………………………………