Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E是棱D₁D的中点，点F在棱B₁B上，且满足B₁F=2BF．
（1）求证：EF⊥A₁C₁；
（2）在棱C₁C上确定一点G，使A、E、G、F四点共面，并求此时C₁G的长；
（3）求几何体ABFED的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）连结B₁D₁，BD，由已知条件推导出A₁C₁⊥DD₁，从而得到A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．由此能证明EF⊥A₁C₁．
（2）以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当C₁G=

1

6

a时，A，E，G，F四点共面．
（3）以BFED为底，A到平面的距离为高，即可求出几何体ABFED的体积．

解答： （1）证明：连结B₁D₁，BD，∵四边形A₁B₁C₁D₁是正方形，∴B₁D₁⊥A₁C₁．
在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵DD₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，A₁C₁?平面A₁B₁C₁D₁，∴A₁C₁⊥DD₁．
∵B₁D₁∩DD₁=D₁，B₁D₁，DD₁?平面BB₁D₁D，∴A₁C₁⊥平面BB₁D₁D．
∵EF?平面BB₁D₁D，∴EF⊥A₁C₁．
（2）解：以点D为坐标原点，以DA，DC，DD₁所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图的空间直角坐标系，
则A（a，0，0），A₁（a，0，a），C₁（0，a，a），E（0，0，

1

2

a），F（a，a，

1

3

a），
∴

A1C1

=（-a，a，0），

EF

=（-a，a，0），

EF

=（a，a，-

1

6

a）．
设G（0，a，h），
∵平面ADD₁A₁∥平面BCC₁B₁，平面ADD₁A₁∩平面AEGF=AE，
平面BCC₁B₁∩平面AEGF=FG，
∴存在实数λ，使得

FG

=λ

AE

．
∵

AE

=（-a，0，

1

2

a），

FG

=（-a，0，h-

1

3

a），
∴λ=1，h=

5

6

a
∴C₁G=

1

6

a．
∴当C₁G=

1

6

a时，A，E，G，F四点共面．
（3）解：几何体ABFED的体积为

1

3

•

1

2

•(

a

3

+

a

2

)•

2

2

a•

2

a=

5

36

a3．

点评：本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力