Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左侧，其中a，b，c∈{-3，-2，-1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，记随机变量X为“|a-b|的取值”．
（Ⅰ）求随机变量X的分布列和数学期望E（X）；
（Ⅱ）记事件A=“函数f（t）=2Xt+4在区间（-3，-

2

3

）上存在零点”，求事件A的概率．

Answer 1

考点：几何概型,二次函数的性质

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）对称轴在y轴的左侧时，a与b同号，故可求满足条件的抛物线有126条，故可求相应的“|a-b|的取值”的概率，进而得到均值EX．
（Ⅱ）求出函数f（t）=2Xt+4在区间（-3，-

2

3

）上存在零点时X的范围，即可求出事件A的概率．

解答： 解：（Ⅰ）因为抛物线对称轴在y轴左侧，所以b与a同符号，且 a≠0，b≠0；
所有满足的抛物线总数有3×3×2×7=126个
|a-b|可能取值有0，1，2
X=0时有6×7=42个，P（X=0）=

42

126

=

1

3

X=1时有4×2×7=56个，P（X=1）=

56

126

=

4

9

X=2时有4×7=28个，P（X=2）=

28

126

=

2

9

，
X的分布列为

X	0	1	2
P	1 3	4 9	2 9

故EX=0×

1

3

+1×

4

9

+2×

2

9

=

8

9

；
（Ⅱ）事件A=“函数f（t）=2Xt+4在区间（-3，-

2

3

）上存在零点”，则f（-3）f（-

2

3

）＜0，
∴（-6X+4）（-

4

3

X+4）＜0，
∴

2

3

＜X＜3，
∴P（A）=P（X=1）+P（X=2）=

2

3

点评：本题以抛物线为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是求出基本事件的个数．