Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n=2a，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）S14=

14(a1+a14)

2

=7（a₃+a₁₂）=196，解得a₁₂=23，d=

a12-a3

12-3

=

23-5

9

=2，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由bn=2nan=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，a₃=5，S₁₄=196，
∴S14=

14(a1+a14)

2

=7（a₃+a₁₂）=196，
解得a₁₂=23，
∴d=

a12-a3

12-3

=

23-5

9

=2，
∴a_n=a₃+（n-3）d=5+（n-3）×2=2n-1．
（Ⅱ）∵bn=2nan=（2n-1）•2ⁿ，
∴Tn=1•2+3•22+…+(2n-1)•2n，①
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+（2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）-4-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2^n-2-2）-4-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6，n∈N^*．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．