Question

（本小题满分14分）已知、是椭圆的两个焦点，O为坐标原点，点在椭圆上,线段与轴的交点满足；⊙O是以F₁F₂为直径的圆，一直线l：与⊙O相切，并与椭圆交于不同的两点A、B.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）当且满足时，求△AOB面积S的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

第一问中利用,以及⊙O是以F₁F₂为直径的圆，可知,得到a,bc的值，得到椭圆的方程
第二问中，利用，直线与圆相切，则可知圆心到直线的距离为1，然后得到
，直线方程与椭圆联立方程组，结合韦达定理和向量的数量积公式得到结论。
解：（Ⅰ） 点M是线段的中点 OM是的中位线
又        解得
椭圆的标准方程为                    ………………………6分
（Ⅱ）圆O与直线l相切     即：，由 
消去y：  设
，
，……………10分

设，  则关于在上单调
递增，且
故△AOB面积S的取值范围是 …………………………………………14分