Question

已知函数f（x）=e^x+ax（a∈R），g（x）=e^xlnx（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为

2

2

，求a的值；
（Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
（Ⅲ）当a=-1时，函数M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由导函数求出曲线y=f（x）在x=1处的切线l的方程，再由点（1，0）到直线l的距离为

2

2

列式求解a的值；
（Ⅱ）当x=0时，对任意实数a，f（x）=e^x＞0恒成立；当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，分离参数a，然后
构造辅助函数Q(x)=-

ex

x

，由导数求其最大值，则a的范围可求；
（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入M（x）=g（x）-f（x），整理后求其导函数，由其导函数恒大于0得到M（x）是定义域内的增函数，从而说明函数M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上不存在极值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x+ax，
∴f′（x）=e^x+a，f（1）=e+a，
y=f（x）在x=1处的切线斜率为f′（1）=e+a，
∴切线l的方程为y-（e+a）=（e+a）（x-1），即（e+a）x-y=0．
又切线l与点（1，0）距离为

2

2

，
∴

|(e+a)•1+(-1)•0+0|

(e+a)2+(-1)2

=

2

2

，
解之得，a=-e+1，或a=-e-1；
（Ⅱ）∵对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，
∴若x=0，则a为任意实数时，f（x）=e^x＞0恒成立；   
若x＞0，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，即a＞-

ex

x

在x＞0上恒成立，
设Q(x)=-

ex

x

，则Q′(x)=-

xex-ex

x2

=

(1-x)•ex

x2

，
当x∈（0，1）时，Q′（x）＞0，则Q（x）在（0，1）上单调递增．
当x∈（1，+∞）时，Q′（x）＜0，则Q（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴当x=1时，Q（x）取得最大值，Q（x）_max=Q（1）=-e，
∴a的取值范围为（-e，+∞）．
综上，对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立的实数a的取值范围为（-e，+∞）；
（Ⅲ）依题意，M（x）=e^xlnx-e^x+x，
∴M′(x)=

ex

x

+exlnx-ex+1=(

1

x

+lnx-1)•ex+1，
设h(x)=

1

x

+lnx-1，则h′(x)=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，当x∈[1，e]，h′（x）≥0，
故h（x）在[1，e]上单调增函数，因此h（x）在[1，e]上的最小值为h（1）=0，
即h(x)=

1

x

+lnx-1≥h(1)=0，
又e^x＞0，
∴在[1，e]上，M′(x)=(

1

x

+lnx-1)•ex+1＞0，
即M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上不存在极值．

点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了函数恒成立问题，训练了利用构造函数法求解字母的范围，解答的关键是熟练掌握基本初等函数的导函数，属高考试卷中的压轴题．