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    如图，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
    		7
    ，S?A1B1A2B2=2S ?B1F1B2F2
    （Ⅰ）求椭圆C的方程；
    （Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
    （Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
    OP
    |=1    ，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（Ⅰ）由题意可知a2+b2=7，a=2c，由此能够求出椭圆C的方程；
    （Ⅱ）分类讨论，当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，利用点差法，结合Q是MN的中点，即可求直线m的方程；
    （Ⅲ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），假设使以AB为直径的圆过原点成立的直线l存在，则以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
    （i）当l不垂直于x轴时，根据题设条件能够推出直线l不存在．
    （ii）当l垂直于x轴时，满足|
    OP
    |=1    的直线l的方程为x=1或x=-1，由A、B两点的坐标为（1，
    3
    2
    ），（1，-
    3
    2
    ）或（-1，
    3
    2
    ），（-1，-
    3
    2
    ）．当x=1时
    OA
    •
    OB
    =（1，
    3
    2
    ）•（1，-
    3
    2
    ）=-
    5
    4
    ≠0．当x=-1时，
    OA
    •
    OB
    =（-1，
    3
    2
    ）•（-1，-
    3
    2
    ）=-
    5
    4
    ≠0．所以此时直线l也不存在．
    解答： 解：（Ⅰ）依题意有|A1B2|=
    		a2+b2
    =
    		7，
    ∴a2+b2=7…（1分）
    又由S□A1B1A2B2=2S□B1F1B2F2．有2a•b=2•2c•b，∴a=2c…（2分）
    解得a2=4，b2=3，…（3分），
    故椭圆C的方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ．…（4分）
    （Ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y=k（x-1）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），
    则
    x
    2
    1
    4
    +
    y
    2
    1
    3
    =1    ，
    x
    2
    2
    4
    +
    y
    2
    2
    3
    =1    ，
    两式相减得：k=
    y1-y2
    x1-x2
    =-
    3
    4
    ×
    x1+x2
    y1+y2
    ．
    ∵Q是MN的中点，
    ∴可得直线m的斜率为k=
    y1-y2
    x1-x2
    =-
    3
    4
    ，（7分）
    当直线m的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得M(1，
    3
    2
    )    ，N(1，-
    3
    2
    )    ，
    这时MN的中点为（1，0），
    ∴x=1不符合题设要求．…（8分）
    综上，直线m的方程为3x+4y-7=0…（9分）
    （Ⅲ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设满足题设的直线l存在，
    （i）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且|
    OP
    |=1    得
    |m|
    		1+k2
    =1    ，即m2=k2+1，…（10分）
    又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．
    将y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k2）x2+8kmx+（4m2-12）=0，
    由求根公式可得x1+x2=
    -8km
    3+4k2
    ，④x1x2=
    4m2-12
    3+4k2
    ．⑤
    0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2，
    将④，⑤代入上式并化简得（1+k2）（4m2-12）-8k2m2+m2（3+4k2）=0，⑥
    将m2=1+k2代入⑥并化简得-5（k2+1）=0，矛盾．
    即此时直线l不存在．…（12分）
    （ii）当l垂直于x轴时，满足|
    OP
    |=1    的直线l的方程为x=1或x=-1，
    由A、B两点的坐标为（1，
    3
    2
    ），（1，-
    3
    2
    ）或（-1，
    3
    2
    ），（-1，-
    3
    2
    ）．
    当x=1时，
    OA
    •
    OB
    =（1，
    3
    2
    ）•（1，-
    3
    2
    ）=-
    5
    4
    ≠0，
    当x=-1时，
    OA
    •
    OB
    =（-1，
    3
    2
    ）•（-1，-
    3
    2
    ）=-
    5
    4
    ≠0．
    ∴此时直线l也不存在．
    综上所述，使
    OA
    •
    OB
    =0成立的直线l不成立，即不存在直线l使以AB为直径的圆过原点．
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，有难度．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准线的距离依次成等差数列．
    （1）求椭圆的离心率
    （2）若直线l与此椭圆相交于A，B两点，且AB中点M为（-2，1），|AB|=4
    		3
    ，求直线l的方程和椭圆方程．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    根据三个函数f（x）=2x，g（x）=2x，h（x）=log2x给出以下五句话：
    （1）f（x），g（x），h（x）在其定义域上都是增函数；
    （2）f（x）的增长速度始终不变；
    （3）f（x）的增长速度越来越快；
    （4）g（x）的增长速度越来越快；
    （5）h（x）的增长速度越来越慢．
    其中正确的个数为（　　）
    A、2B、3C、4D、5

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知f（x）为R上的可导函数，且?x∈R，均有f（x）＞f′（x），则以下判断正确的是（　　）
    A、f（2013）＞e2013f（0）
    B、f（2013）＜e2013f（0）
    C、f（2013）=e2013f（0）
    D、f（2013）与e2013f（0）大小无法确定

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=2sin（x-
    π
    6
    ）sin（x+
    π
    3
    ），x∈R．
    （Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
    （Ⅱ）在△ABC中，若A=
    π
    4
    ，锐角C满足f（
    C
    2
    +
    π
    6
    ）=
    1
    2
    ，求
    BC
    AB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ex+ax（a∈R），g（x）=exlnx（e为自然对数的底数）．
    （Ⅰ）设曲线y=f（x）在x=1处的切线为l，点（1，0）到直线l的距离为
    		2
    2
    ，求a的值；
    （Ⅱ）若对于任意实数x≥0，f（x）＞0恒成立，试确定实数a的取值范围；
    （Ⅲ）当a=-1时，函数M（x）=g（x）-f（x）在[1，e]上是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知A、B、C为△ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c，若
    m
    =(cosB，sinB)    ，
    n
    =(cosC，-sinC)    ，且
    m
    •
    n
    =
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求A；
    （Ⅱ）若a=2
    		3
    ， b+c=4    ，求△ABC的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率是
    		2
    2
    ，A1，A2分别是椭圆C的左、右两个顶点，点F是椭圆C的右焦点．点D是x轴上位于A2右侧的一点，且满足
    1
    |A1D|
    +
    1
    |A2D|
    =
    2
    |FD|
    =2    ．
    （1）求椭圆C的方程以及点D的坐标；
    （2）过点D作x轴的垂线n，再作直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点P，直线l交直线n于点Q．求证：以线段PQ为直径的圆恒过定点，并求出定点的坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2．椭圆上两点A、B满足：△ABF2的周长为8，点F1在边AB上，cos∠ABF2=
    3
    5
    ，|BF2|=
    3
    2
    ．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若点P为椭圆的右顶点，直线l：y=kx+m与椭圆C交于两点M，N（M，N不是左右顶点），且
    PM
    ⊥
    PN
    ．试说明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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