Question

（2007•浦东新区一模）由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数f(x)=2

x

确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求b_n；
（2）设c_n=3ⁿ，数列{c_n}与其反数列{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}
（公共项t_k=c_p=d_q，k、p、q为正整数）．求数列{t_n}前10项和S₁₀；
（3）对（1）中{b_n}，不等式

1 bn+1

+

1 bn+2

+…+

1 b2n

＞

1

2

loga(1-2a)对任意的正整数n恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=2

x

（x≥0），知an=2

n

（n为正整数），f-1(x)=

x2

4

（x≥0），由此能求出数列{a_n}的反数列{b_n}的通项．
（2）由c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，知3^p=log₃q，所以t_n=3ⁿ，由此能求出{t_n}的前n项和．
（3）由

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)对任意正整数n恒成立，设T_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，数列{T_n}单调递增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要1＞

1

2

loga(1-2a)．由此能求出使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围．

解答：解：（1）f(x)=2

x

（x≥0）⇒an=2

n

（n为正整数），
f-1(x)=

x2

4

（x≥0）
所以数列{a_n}的反数列{b_n}的通项bn=

n2

4

（n为正整数）．
（2）c_n=3ⁿ，d_n=log₃n，
3^p=log₃q，
则q=33p，
有{c_n}?{d_n}，t_n=3ⁿ，
所以{t_n}的前n项和S10=

3

2

(310-1)．
（3）对于（1）中{b_n}，
不等式化为：

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

＞

1

2

loga(1-2a)，
对任意正整数n恒成立，
设T_n=

2

n+1

+

2

n+2

+…+

2

2n

，
Tn+1-Tn=

2

2n+1

+

2

2(n+1)

-

2

n+1

=

2

2n+1

-

2

2n+2

＞0，
数列{T_n}单调递增，
所以（T_n）_min=T₁=1，
要使不等式恒成立，
只要1＞

1

2

loga(1-2a)．
∵1-2a＞0，∴0＜a＜

1

2

，
1-2a＞a²，0＜a＜

2

-1．
所以，使不等式对于任意正整数恒成立的a的取值范围是：(0，

2

-1)

点评：本题考查数列和不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．