Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，，为其左、右顶点，为椭圆上除，外任意一点，若记直线，斜率分别为，.

（1）求证：为定值；

（2）若椭圆的长轴长为4，过点作两条互相垂直的直线，，若恰好为与椭圆相交的弦的中点，求与椭圆相交的弦的中点的横坐标.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析.

（2）.

【解析】分析：（1）由题意，，设，表示出，.，.然后又P在椭圆上可得，故 即可；（2）先得出椭圆方程：. 设与椭圆交点为，，与椭圆交点为，，代入椭圆方程作差可得，结合中点可得.故可得方程，联立椭圆即可.

详解：

（1）由题意，，设，

则，.

又在椭圆上，∴，；

∴

，

∵，∴为定值.

（2）∵，∴，，.

∴椭圆方程为.

设与椭圆交点为，，与椭圆交点为，，

则

②-①得：，

又，，∴.

∴，即.

∵，∴.

方程：，即.

由消去得.

∴，∴.

即与椭圆相交的弦的中点横坐标为.