Question

已知函数f(x)=

sin4 x 2 +4cos2 x 2

-

cos4 x 2 +4sin2 x 2

（1）求f(

25π

6

)的值；
（2）若0＜α＜π，f(α)+f(

α

2

)=0，求α．的大小．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和同角三角函数的基本关系对函数解析式进行化简整理，把x=

25π

6

代入即可．
（2）利用（1）中函数的解析式，利用二倍角公式整理求得cos

α

2

的值，进而利用α的范围求得α的值．

解答：解：（1）f(x)=

sin4 x 2 -4sin2 x 2 +4

-

cos4 x 2 -4cos2 x 2 +4

=|sin2

x

2

-2|-|cos2

x

2

-2|=(2-sin2

x

2

)-(2-cos2

x

2

)=cos2

x

2

-sin2

x

2

=cosx
∴f(

25π

6

)=cos

25π

6

=cos

π

6

=

3

2

．
（2）由f(α)+f(

α

2

)=0得cosα+cos

α

2

=0．即2cos2

α

2

+cos

α

2

-1=0．
∴cos

α

2

=-1或cos

α

2

=

1

2

．
又∵0＜α＜π，∴0＜

α

2

＜

π

2

．
∴cos

α

2

=

1

2

．
∴

α

2

=

π

3

，α=

2π

3

．

点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的化简求值要求学生能灵活运用三角函数中的平方关系．．