精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知圆,椭圆
(Ⅰ)若点在圆上,线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点,求点的横坐标;
(Ⅱ)现有如下真命题:
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”;
“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直”.
据此,写出一般结论,并加以证明.
(1)
(2)一般结论为: “过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直.”

试题分析:解法一:
(Ⅰ)设点,则, (1)   1分

设线段的垂直平分线与相交于点,则,    2分
椭圆的右焦点,       3分
, 
, (2)             4分
由(1),(2),解得 ,的横坐标为.      5分
(Ⅱ)一般结论为:

“过圆上任意一点作椭圆的两条切线,则这两条切线互相垂直.”  6分
证明如下:
(ⅰ)当过点与椭圆相切的一条切线的斜率
不存在时,此时切线方程为
在圆上 ,
直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线
两切线互相垂直.         7分
(ⅱ)当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时,
可设切线方程为

整理得,     8分
直线与椭圆相切,

整理得,       9分
,          10分
在圆上,两切线互相垂直,
综上所述,命题成立.         13分
解法二:
(Ⅰ)设点,则, (1)       1分
椭圆的右焦点,        2分
在线段的垂直平分线上, 
 , , (2)     4分
由(1),(2),解得的横坐标为.     5分
点评:主要是考查了椭圆的性质,以及直线与椭圆的位置关系的运用,属于中档题。
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系内,动圆过定点,且与定直线相切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)中心在的椭圆的一个焦点为,直线过点.若坐标原点关于直线的对称点在曲线上,且直线与椭圆有公共点,求椭圆的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0,且这个圆经过点A(6,1),求该圆的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知,则以为直径的圆的方程是(     )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

过点P(,3)的直线,交圆于A、B两点,Q为圆上任意一点,且Q到AB的最大距离为,则直线l的方程为                 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

为任意实数时,直线恒过定点,则以为圆心,半径为的圆是(   )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

圆心为,半径为5的圆的标准方程为(  )
A.B.
C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆的方程为,则该圆的半径为____________

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)
己知圆C: (x – 2 )+ y 2 =" 9," 直线l:x + y = 0.
(1) 求与圆C相切, 且与直线l平行的直线m的方程;
(2) 若直线n与圆C有公共点,且与直线l垂直,求直线n在y轴上的截距b的取值范围;

查看答案和解析>>

同步练习册答案