Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1）．
（1）求证：数列{

Sn

n

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n．

Answer 1

分析：（1）由nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1），两边同除以n（n+1）可得

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=2，即可证明；
（2）由（1）S_n．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答：（1）证明：∵nS_n+1-（n+1）S_n=2n（n+1），∴

Sn+1

n+1

-

Sn

n

=2，
∴数列{

Sn

n

}是以

S1

1

=1为首项，2为公差的等差数列．
（2）解：由（1）可得

Sn

n

=1+(n-1)×2，
化为S_n=2n²-n．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3．
又a₁=1也满足．
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=4n-3．

点评：数列掌握等差数列的定义、通项公式及其利用“当n=1时，a₁=S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，”求a_n的方法等是解题的关键．