Question

20．如图所示在五棱锥P-ABCDE中，侧棱PA⊥底面ABCDE，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，AB=AE=2，BC=DE=1．求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 以A为原点，分别以AE，AB，AP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得向量$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BD}$的坐标，可求$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=0，从而证明AC⊥BD，又可证PA⊥BD，从而证明BD⊥平面PAC．

解答 证明：如图，以A为原点，分别以AE，AB，AP为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
∵侧棱PA⊥底面ABCDE，∠EAB=∠ABC=∠DEA=90°，AB=AE=2，BC=DE=1．
∴可得：A（0，0，0），C（1，2，0），B（0，2，0），D（2，1，0），
∴$\overrightarrow{AC}$=（1，2，0），$\overrightarrow{BD}$=（2，-1，0），
∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BD}$=1×2-2×1+0×0=0，
∴AC⊥BD，
又∵侧棱PA⊥底面ABCDE，BD?底面ABCDE，
∴PA⊥BD，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．