Question

已知函数f（x）=m（x-1）²-2x+3+lnx，m∈R．
（1）当m=0时，求函数f（x）的单调增区间；
（2）当m＞0时，若曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y=f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．

Answer 1

解：（1）当m=0时，函数f（x）=-2x+3+lnx
由题意知x＞0，f′（x）=-2+=，令f′（x）＞0，得0＜x＜时，
所以f（x）的增区间为（0，）．
（2）由f′（x）=mx-m-2+，得f′（1）=-1，
知曲线y=f（x）在点P（1，1）处的切线l的方程为y=-x+2，
于是方程：-x+2=f（x）即方程 m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一个实数根；
设g（x）=m（x-1）²-x+1+lnx，（x＞0）．
则g′（x）==，
①当m=1时，g′（x）=≥0，g（x）在（0，+∞）上为增函数，且g（1）=0，故m=1符合题设；
②当m＞1时，由g′（x）＞0得0＜x＜或x＞1，
由g′（x）=＜0得＜x＜1，
故g（x）在区间（0，），（1，+∞）上单调递增，在（ 1，）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→-∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故m＞1不合题意；
③当0＜m＜1时，由g′（x）=＞0得0＜x＜1或x＞，
由g′（x）=＜0得1＜x＜，
故g（x）在区间（0，1），（1，）上单调递增，在（，+∞）区间单调递减，
又g（1）=0，且当x→0时，g（x）→+∞，此时曲线y=g（x）与x轴有两个交点，故0＜m＜1不合题意；
∴由上述知：m=1．
分析：（1）求出f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，即得f（x）的单调增区间；
（2）先求切线方程为y=-x+2，再由切线L与C有且只有一个公共点，转化为m（x-1）²-x+1+lnx=0有且只有一个实数解，从而可求实数m的范围．
点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、最值问题，考查分析问题解决问题的能力，考查转化思想．