Question

5．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，BC∥AD，AD=2BC，AC交BD于点O，试问在棱PA上是否存在点E，使得直线PC∥平面EBD？若存在，求PE：PA的值，并证明你的结论．若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 取AD中点F，AF=FD，连接CF，BD，CF交BD于Q，由已知条播是到四边形ABCF是平行四边形，四边形BCDF平行四边形，由此能推导出存在PC∥平面EBD，且必有PC∥EO，并能求出PE：PA的值．

解答 解：存在PC∥平面EBD．
证明如下：取AD中点F，AF=FD，连接CF，BD，CF交BD于Q，
由已知得AD=2BC=2AF=2FD，故AF=FD=BC，
∵BC∥AF，BC∥DF，
∴四边形ABCF是平行四边形，四边形BCDF平行四边形，
∴AB=2CQ，
又∵CQ∥AB，∴$\frac{AO}{CO}$=$\frac{AB}{QC}$，
∴$\frac{AO}{OC}=\frac{2}{1}，\frac{CO}{CA}=\frac{1}{3}$，
∴存在PC∥平面EBD，且必有PC∥EO，
∴PE：PA=CO：CA=1：3．

点评 本题考查线面平行判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．